立体几何和平面几何发生了关系，怎么办？

本文最后更新于：2022年4月8日 凌晨

好多年前，谷月姐刷推特时，看到一个日本高中生贴了一道数学题求助。

【原题】

四面体 $OABC$ において。$OA \perp BC$，$OB \perp AC$ であろとする。このとき、次のことを証明せよ。

  1. $O$ から平面 $ABC$ に下るけ垂線の足 $H$ は。

  2. $OC \perp AB$。

图1

【分析】

很明显，这是一道立体几何与平面几何的综合题，把平面几何问题融入立体几何之中。它考查了线线垂直、线面垂直、三角形的垂心定理。

在中国，这样综合考查立体几何和平面几何的高中数学题比较少见。

【翻译与证明】

谷月姐在此处试翻译并证明如下。(毕竟谷月姐的日语水平还达不到用日语做数学题的地步）

已知在四面体 $OABC$ 中，有 $OA \perp BC$，$OB \perp AC$，证明下列命题。

  1. 过 $O$ 作平面 $ABC$ 的垂线，垂足 $H$ 是 $\triangle ABC$的垂心。
  2. $OC \perp AB$。

图2

证法一：

  1. 过 $O$ 作 $OH \perp$ 平面 $ABC$，垂足为 $H$。
    连结 $AH$ 并延长，交 $BC$ 于 $M$。
    显然，$OA$ 在平面 $ABC$ 上的射影是 $AM$ 。
    ∵ $OA \perp BC$，
    ∴ 由三垂线定理的逆定理可知，$AM \perp BC$，即 $AM$ 是 $\triangle ABC$ 的高。
    连结 $BH$ 并延长，交 $AC$ 于 $N$，类似地，可以证得 $BN$ 也是 $\triangle ABC$ 的高。
    过 $C$ 作 $CP \perp AB$，
    ∵ $AM \text{、} BN$ 都是 $\triangle ABC$ 的高，而且交于点 $H$，
    ∴ 由三角形的垂心定理可知，$CP$ 过点 $H$，且 $H$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心。
  2. ∵ $OH \perp$ 平面 $ABC$，∴ $OC$ 的射影是 $CP$。
    又 ∵ $CP \perp AB$ ，由三垂线定理可知，$OC \perp AB$。

证法二（不使用三垂线定理及其逆定理）：

因为三垂线定理及其逆定理已经从中国高考数学考试大纲中删除，所以写一个比较麻烦的证法，说穿了就是翻来覆去利用线面垂直关系做文章。

  1. 过 $O$ 作 $OH \perp$ 平面 $ABC$，垂足为 $H$。
    连结 $AH$ 并延长，交 $BC$ 于 $M$。
    ∵ $OH \perp$ 平面 $ABC$，且 $BC \subset$ 平面 $ABC$，∴ $OH \perp BC$。
    又 ∵ $OA \perp BC$，∴ $BC \perp$ 平面 $OAH$。
    ∵ $AM \subset$ 平面 $OAH$，∴ $BC \perp AM$，即 $AM$ 是 $\triangle ABC$ 的高。
    连结 $BH$ 并延长，交 $AC$ 于 $N$，类似地，可以证得 $BN$ 也是 $\triangle ABC$ 的高。
    过 $C$ 作 $CP \perp AB$，
    ∵ $AM$、$BN$ 都是 $\triangle ABC$ 的高，而且交于点 $H$，
    ∴ 由三角形垂心定理可知，$CP$ 过点 $H$，且 $H$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心。
  2. ∵ $OH \perp$ 平面 $ABC$，且 $AB \subset$ 平面 $ABC$，∴ $OH \perp AB$。
    又 ∵ $CP \perp AB$，∴ $AB \perp$ 平面 $OCH$。
    又 ∵ $OC \subset$ 平面 $OCH$，∴ $OC \perp AB$。

证法 3：向量法

感谢知乎大佬 @大魔导师 提供。

这种证法是先证第 2 问，再证第 1 问的。

第2问：注意到恒等式 $\boldsymbol{a}\left(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\right)+\boldsymbol{c}\left(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right)+\boldsymbol{b}\left(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}\right)=0$，

令 $\boldsymbol{a}=\vec{OA}$， $\boldsymbol{b}=\vec{OB}$， $\boldsymbol{c}=\vec{OC}$，

有 $\vec{OA}\left(\vec{OB}-\vec{OC}\right)+\vec{OC}\left(\vec{OA}-\vec{OB}\right)+\vec{OB}\left(\vec{OC}-\vec{OA}\right)=0$。

即 $\vec{OA}\cdot\vec{CB}+\vec{OC}\cdot\vec{BA}+\vec{OB}\cdot\vec{AC}=0$。

由题意，$\vec{OA}\cdot\vec{CB} = \vec{OB}\cdot\vec{AC} =0$，

∴ $\vec{OC}\cdot\vec{BA} = 0$，即 $OC \perp AB$。

第1问：过 $O$ 作 $OH \perp$ 平面 $ABC$，垂足为 $H$，

则有 $OH \perp AB$、 $OH \perp BC$、 $OH \perp AC$。

连结 $AH$、 $BH$、 $CH$，则有：

$\vec{AH}\cdot\vec{BC}=\left(\vec{OH}-\vec{OA}\right)\cdot\vec{BC}=\vec{OH}\cdot\vec{BC}-\vec{OA}\cdot\vec{BC}=0$

$\vec{BH}\cdot\vec{AC}=\left(\vec{OH}-\vec{OB}\right)\cdot\vec{AC}=\vec{OH}\cdot\vec{AC}-\vec{OB}\cdot\vec{AC}=0$

$\vec{CH}\cdot\vec{AB}=\left(\vec{OH}-\vec{OC}\right)\cdot\vec{AB}=\vec{OH}\cdot\vec{AB}-\vec{OC}\cdot\vec{AB}=0$

∴ $AH \perp BC$、$BH \perp AC$、$CH \perp AC$。

∴ 由三角形垂心定理可知， $H$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心。